Question

在无穷数列{a_n}中，a₁=1，对于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．设m∈N^*，记使得a_n≤m成立的n最大值为b_m．
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，…，写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{b_n}为等差数列，求出所有可能的数列{a_n}；
（Ⅲ）设a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，求b₁+b₂+…+b_q的值．（用p，q，A表示）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，即可写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{b_n}为等差数列，先判断a_n≥n，再证明a_n≤n，即可求出所有可能的数列{a_n}．
（Ⅲ）确定b₁，b₂，依此类推，发现规律，得出b_q，从而求出b₁+b₂+…+b_q的值．

解答： 解：（Ⅰ）a_n≤1，则b₁=1，a_n≤2，则b₂=1，a_n≤3，则b₃=3．
（Ⅱ）由题意，得1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，得a_n≥n．
又∵使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，使得a_n≤m+1成立的n的最大值为b_m+1，
∴b₁=1，b_m≤b_m+1．
设a₂=k，则k≥2．
假设k＞2，即a₂=k＞2，
则当n≥2时，a_n＞2；当n≥3时，a_n≥k+1．
∴b₂=1，b_k=2．
∵{b_n}为等差数列，
∴公差d=b₂-b₁=0，
∴b_n=1，．
这与b_k=2（k＞2）矛盾，
∴a₂=2．
又∵a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
∴b₂=2，
由{b_n}为等差数列，得b_n=n．
因为使得使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
∴a_n≤n，由a_n≥n，得a_n=n
（Ⅲ）设a₂=k（k＞1）
∵a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
∴b₁=b₂=…b_k-1=1且b_k=2，
∴数列{b_n}中等于1的项有（k-1）个，即（a₂-a₁）个，
设a₃=l，（l＞k）
则b_k=b_k+1=…b_l-1=2，且b_l=3，
∴数列{b_n}中等于2的项有（l-k）个，即（a₃-a₂）个，
…
以此类推：数列{b_n}中等于p-1的项有（a_p-a_q）个
∴b₁+b₂+…+b_q=（a₂-a₁）+2（a₃-a₂）+…（p-1）（a_p-a_p-1）+p
=-a₁-a₂-…-a_p+（p-1）a_p+p
=pa_p+p-（a₁+a₂+…+a_p）
=p（q+1）-A
即：b₁+b₂+…+=p（q+1）-A．

点评：本题考查等比数列的性质，考查学生对题意的理解，考查学生分析解决问题的能力，有难度