Question

设函数f（x）=

|x-1|+|x+1|-a

（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：不等式

分析：（Ⅰ）a=3时，依题意得出|x-1|+|x+1|≥3；
（法一）由绝对值的几何意义求出不等式的解集，（法二）用分类讨论法求出不等式的解集；
（Ⅱ）依题意得出关于x的不等式|x-1|+|x+1|-a≥0在R上恒成立，化为求|x-1|+|x+1|在R上的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，依题意得：|x-1|+|x+1|≥3；
（法一）由绝对值的几何意义，如图所示；
∴不等式的解集为{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}；
（法二）不等式可化为

x≤-1 -2x≥3

，或

-1＜x≤1 2≥3

，或

x＞1 2x≥3

；
∴不等式的解集为{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}．
（Ⅱ）依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|-a≥0在R上恒成立，
即a≤|x-1|+|x+1|在R上恒成立；
∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
∴a≤2；
∴a的取值范围是{a|a≤2}．

点评：本题考查了不等式的应用问题，解题时应根据题意，得出不等式（组），解不等式（组），从而求出符合条件的结论即可，是基础题．