Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x+cos2x+a-1
=2sin（2x+

π

6

）+a-1，
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）令f（x）=0，即2sin（2x+

π

6

）+a-1=0，
则a=1-2sin（2x+

π

6

），
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤1-2sin（2x+

π

6

）≤3，
∴若f（x）有零点，则实数a的取值范围是[-1，3]．

点评：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题．