Question

如图所示，AB是圆台上底面⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B的一点，D是圆台下底面⊙O′上的一点，过A、B、C、D的截面垂直与底面，M是CD的中点，又AC=AD=2，∠CAD=120°，∠BCD=30°．
（1）求证AM⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DB-C的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥AC，BC⊥面ACD，从而得到BC⊥AM．由此证明AM⊥平面BCD．
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，连接AG，由三垂线定理知∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．由此能求出二面角A-DB-C的正切值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B的一点，
知BC⊥AC．
∵面ACD⊥面ABC，∴BC⊥面ACD，∴BC⊥AM．
∵AC=AD，M是CD的中点，∴AM⊥CD，
∴AM⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，连接AG．
由（1）知AM⊥平面BCD，根据三垂线定理得AG⊥BD，
∴∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．
∵AC=AD=2，∠CAD=120°，M是CD的中点，∴AM=1，DM=

3

，
在Rt△MGD中，MG=MDsin∠MDG=

3

3

sin30°=

3

2

．
∴在Rt△AMG中，tan∠AGM=

AM

MG

=

1

3 2

=

2 3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．