已知抛物线的方程为y=ax2-1.直线l的方程为y=x2.点A关于直线l的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程,(2)已知P(12.1).点F(0.-1516)是抛物线的焦点.M是抛物线上的动点.求|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标,(3)设点B.C是抛物线上的动点.点D是抛物线与x轴正半轴交点.△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点?若经过.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知抛物线的方程为y=ax²-1，直线l的方程为y=

，点A（3，-1）关于直线l的对称点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知P（

，1），点F（0，-

）是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标；
（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与x轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件求出点A（3，-1）关于直线l的对称点为坐标A′（1，3），点A′（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，由此能求出抛物线的方程．
（2）由F（0，-

）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），求出抛物线的准线为x=-

，由此能求出|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标．
（3）BC所在的直线经过定点（-

，

）．令y=4x²-1=0，得D点的坐标为（

，0），利用直线垂直的性质和直线斜率的关系能求出直线BC的方程为即y=2（x₁+x₂）（2x+1）+

，由此能证明直线BC经过定点（-

，

）．

解答： 解：（1）设点A（3，-1）关于直线l的对称点为坐标为A′（x，y），

则

x+3

-2•

y-1

y+1

x-3

=-2

，解得

x=1

y=3

，（3分）
把点A′（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，
∴抛物线的方程为y=4x²-1．（4分）
（2）∵F（0，-

）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），
∴抛物线的准线为x=-

，（5分）
过点M作准线的垂线，垂足为A，由抛物线的定义知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，（7分）
即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
|MP|+|MF|取最小值，
∴（|MP|+|MF|）_min=1-（-

）=

，
这时点M的坐标为（

，0）．（9分）
（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为（-

，

），
令y=4x²-1=0，得D点的坐标为（

，0），
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），x₁≠x₂，
则kBC=

y 1-y2

x1-x2

4(x12-x22)

x1-x2

=4（x₁+x₂），（10分）
kBD=4(x1+

)，kCD=4(x2+

)，（11分）
∵BD⊥CD，∴kBD•kCD=16(x1+

)(x2+

)=-1，
即x1x2=-

(x1+x2)，
直线BC的方程为y-y₁=4（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=4（x₁+x₂）x-4x1 x2-1=2（x₁+x₂）（2x+1）+

，（13分）
∴直线BC经过定点（-

，

）．（14分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两条线段和最小值的求法，考查直线过定点的判断与证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．

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