Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+|{x+m}|，m∈R$
（1）求f（x）在[0，1]上的最值；
（2）是否存在m的值，当x∈[0，1]时，[f（x）+2m]²≤1恒成立，若存在求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对x分类写出分段函数，然后对m分类利用导数求得f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令h（x）=f（x）+m，则[f（x）+2m]²≤1?-1≤h（x）≤1，进一步转化为h（x）_max≤1且h（x）_min≥-1．然后结合（1）中函数的单调性求得函数的最值，再由h（x）_max≤1且h（x）_min≥-1联立不等式组求得m的范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-x-m，x≤-m}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}+x+m，x＞-m}\end{array}\right.$，x∈[0，1]
当m≥0，即-m≤0时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+x+m$，
此时f′（x）=x²+1＞0，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴$f（x）_{min}=f（0）=m，f（x）_{max}=f（1）=\frac{4}{3}+m$．
当m≤-1，即-m≥1时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x-m$，
此时f′（x）=x²-1≤0，f（x）在[0，1]上单调递减，
∴$f（x）_{min}=f（1）=-\frac{2}{3}-m，f（x）_{max}=f（0）=-m$．
当-1＜m＜0，即0＜-m＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-x-m，0≤x≤-m}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}+x+m，-m＜x≤1}\end{array}\right.$，
即f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，0≤x≤-m}\\{{x}^{2}+1，-m＜x≤1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[0，-m]上单调递减，在（-m，1]上单调递增，
∴$f（x）_{min}=f（-m）=-\frac{1}{3}{m}^{3}，f（x）_{max}=max${f（0），f（1）}，
又f（0）=-m，f（1）=$\frac{4}{3}+m$，
当f（1）-f（0）=$\frac{4}{3}+2m≥0$时，m$≥-\frac{2}{3}$，
∴$-\frac{2}{3}≤m＜0$时，$f（x）_{max}=f（1）=\frac{4}{3}+m$．
当f（1）-f（0）=$\frac{4}{3}+2m＜0$时，m$＜-\frac{2}{3}$，
∴$-1＜m＜-\frac{2}{3}$时，f（x）_max=f（0）=-m．
综上，当m≥0时，$f（x）_{min}=m，f（x）_{max}=\frac{4}{3}+m$；
当m≤-1时，$f（x）_{min}=-\frac{2}{3}-m，f（x）_{max}=-m$；
当-1＜m＜0时，$f（x）_{min}=-\frac{1}{3}{m}^{3}$，
且-1$＜m＜-\frac{2}{3}$时，$f（x）_{max}=-m，-\frac{2}{3}≤m＜0$时，$f（x）_{max}=\frac{4}{3}+m$．
（2）令h（x）=f（x）+m，则[f（x）+2m]²≤1?-1≤h（x）≤1，
即h（x）_max≤1且h（x）_min≥-1．
由（1）得：当m≥0时，$h（x）_{max}=\frac{4}{3}+3m≤1$且h（x）_min=3m≥-1，即
$-\frac{1}{3}≤m≤-\frac{1}{9}$，不符合题意．
当m≤-1时，h（x）_max=m≤1且$h（x）_{min}=-\frac{2}{3}+m≥-1$，即
$-\frac{1}{3}≤m≤1$，不符合题意．
当-1$＜m＜-\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{3}{m}^{3}-2m-1＞0$恒成立，
∴$h（x）_{min}=-\frac{1}{3}{m}^{3}+2m≥-1$恒不成立，不符合条件．
当$-\frac{2}{3}≤m＜0$时，$h（x）_{max}=f（1）=\frac{4}{3}+3m≤1$，得m$≤-\frac{1}{9}$，
∴$-\frac{2}{3}≤m≤-\frac{1}{9}$．
然后求解$h（x）_{min}=-\frac{1}{3}{m}^{3}+2m≥-1$，
令g（m）=$\frac{1}{3}{m}^{3}-2m-1（-\frac{2}{3}≤m≤-\frac{1}{9}）$，得
g′（m）=m²-2＜0，则g（m）在[-$\frac{2}{3}，-\frac{1}{9}$]上单调递减，
又$g（-\frac{2}{3}）=\frac{1}{3}（-\frac{2}{3}）^{3}+\frac{1}{3}＞0$，$g（-\frac{1}{9}）=\frac{1}{3}（-\frac{1}{9}）^{3}-\frac{7}{9}＜0$．
∴?m₀∈[$-\frac{2}{3}，-\frac{1}{9}$]，使得g（m₀）=0，即$\frac{1}{3}{{m}_{0}}^{3}-2{m}_{0}-1=0$，
∴?m∈[${m}_{0}，-\frac{1}{9}$]时，$g（m）=\frac{1}{3}{m}^{3}-2m-1≤0$，
即$h（x）_{min}=-\frac{1}{3}{m}^{3}+2m≥-1$成立，
综上所述，?m∈[${m}_{0}，-\frac{1}{9}$]（m₀∈[$-\frac{2}{3}，-\frac{1}{9}$]且$\frac{1}{3}{{m}_{0}}^{3}-2{m}_{0}-1=0$）满足题意．

点评 本题考查分段函数的应用，考查了利用导数求函数的最值，训练了数学转化思想方法和分类讨论的数学数学方法，难度较大．