Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆： （）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线： 与圆： 相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，M的坐标为、、、，最大值为。

【解析】试题分析：（1）离心率，得到，即此时椭圆方程为，设椭圆上的点为P，

两点间的距离等于3，可得到b=1，所以可求得椭圆方程；（2）在解析几何中，三角形的面积公式通常有两种计算方式，，本题由于没有给出角度的关系，所以采用第一种方法。通过联立方程即可得到M的坐标。

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，于是. 1分

设椭圆上任一点，椭圆方程为，，=

①当，即时，（此时舍去； 3分

②当即时，5分

综上椭圆C的方程为。 6分

（Ⅱ）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为8分

点,10分

当时，由得

综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为. 12分