Question

【题目】已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；

（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．

（1）由题意可得：，，又，

联立解得，，.

∴椭圆的方程为.

（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，

把代入椭圆方程，得到方程，

则，，，，

所以的中垂线的方程为，令，得，

当时，，则；

当时，，则，

当斜率不存在时，显然，

当时，的中垂线为轴.

综上，的取值范围是.