【题目】如图,直线平面
,直线
平行四边形
,四棱锥
的顶点
在平面
上,
,
,
,
,
分别是
与
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接,由题意可证得平面
平面
,利用面面平行的性质定理可得
平面
;
(2)过作
,以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,据此计算可得二面角
的平面角
的余弦
.
(1)连接,底面
为平行四边形,
是
的中点,
是
的中点,
,
是
的中点,
是
的中点,
,
,
,
平面
平面
,
平面
,
平面
;
(2)由平面
,
平行四边形
,
平面
底面
,
,
,
四边形
为矩形,且
底面
,
,过
作
,
以所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系(如图),
由,
,
,知
,
、
、
、
、
、
,
、
、
,
设平面的法向量为
,
则,
取,
,
,即
,
设平面的法向量为
则,
取,
,
,即
,
二面角
的平面角
的余弦
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区为调查新生婴儿健康状况,随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重(单位:千克),称量结果分别为6,8,9,9,9.5,10.已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克,不超过9.8千克为“标准体重”,否则为“不标准体重”.
(1)根据样本估计总体思想,将频率视为概率,若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重,则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少?
(2)从抽取的6名婴儿中,随机选取4名,设X表示抽到的“标准体重”人数,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三条直线型公路,
,
在点
处交汇,其中
与
、
与
的夹角都为
,在公路
上取一点
,且
km,过
铺设一直线型的管道
,其中点
在
上,点
在
上(
,
足够长),设
km,
km.
(1)求出,
的关系式;
(2)试确定,
的位置,使得公路
段与
段的长度之和最小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,函数
的图像为直线
.
(Ⅰ)当时,若函数
的图像永远在直线
下方,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若直线
与函数
的图像的有两个不同的交点
,线段
的中点为
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的倾斜角互余,求证:直线
经过一定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某创业团队拟生产两种产品,根据市场预测,
产品的利润与投资额成正比(如图1),
产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)
(注:利润与投资额的单位均为万元)
(1)分別将两种产品的利润
、
表示为投资额
的函数;
(2)该团队已筹集到10 万元资金,并打算全部投入两种产品的生产,问:当
产品的投资额为多少万元时,生产
两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年,在青岛海水稻研究发展宗鑫的试验基地,我国奇数团队培养处的最新一批海水稻活动丰收,由原亩产300公斤,条到最高620公斤,弦长测得其海水盐分浓度月为。
(1)对四种品种水稻随机抽取部分数据,获得如下频率分布直方图,根据直方图,说明这四种品种水稻中,哪一种平均产量最高,哪一种稳定(给出判断即可,不必说明理由);
(2)对盐碱度与抗病害的情况差得如右图和的列联表的部分数据,填写列表,并以此说明是否有
的把握说明盐碱度对抗病虫害有影响。
附表及公式:
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【题目】某船在海面处测得灯塔
在北偏东
方向,与
相距
海里,测得灯塔
在北偏西
方向,与
相距
海里,船由
向正北方向航行到
处,测得灯塔
在南偏西
方向,这时灯塔
与
相距多少海里?
在
的什么方向?
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