Question

【题目】在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知点，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；

(3)过点任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定点，理由见解析

【解析】

（1）设点P的坐标，用已知点和P点坐标表示出，和，再代入等式，整理即得点P的轨迹C方程；（2）设A,B点的坐标，根据点F，可得直线L的方程，将L的方程和P的轨迹方程联立，再由公式可得△AOB的面积；（3）设点A,B的坐标为，点E的坐标为，设直线的方程为，将直线与曲线方程联立，因为直线与曲线有两个交点，则可用斜率k表示出点E，直线垂直，可知直线的斜率为，且过点D，则同理可得用k表示的F点坐标，根据点斜式可求出直线EF的方程，再根据方程特点可证．

（1）设点P的坐标为，则，

由，得，整理得点P的轨迹的方程为：

（2）设，由得：

，

（3）证明：设点A,B的坐标为，则点E的坐标为.

由题意可设直线的方程为，

由，消去y得，

，∵直线与抛物线交于A，B两点，

，

∴点E的坐标为，由题知，直线的斜率为，同理可得F的坐标为.

当时，有.此时直线EF的斜率为：

∴直线EF的方程为，

整理得，恒过定点，当时，直线EF的方程为，也过点.

综上所述，直线EF恒过定点.