Question

3．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再求f′（1），根据导数的几何意义可知所求切线的斜率k=f′（1），根据点斜式可求得切线方程．
（Ⅱ）求导，讨论导数的正负，可得函数f（x）的单调性，同时注意对参数a的讨论．

解答 解：（Ⅰ） a=2时，y=f（x）=x-2lnx，∴f（1）=1-2ln1=1，即A（1，1）．
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，∴f′（1）=1-2=-1，
由导数的几何意义可知所求切线的斜率k=f′（1）=-1，
因此所求切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（Ⅱ） f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，（x＞0）．
当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令 f′（x）=0，得x=a，
∴x＞a时，f′（x）＞0；0＜x＜a时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．