Question

已知函数f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求

PM

与

PN

的夹角的余弦．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出

PM

与

PN

，求出

PM

与

PN

的夹角的余弦．
      解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出

PM

与

PN

的夹角的余弦．
      解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出cos∠MPA=

|PA|

|PM|

，通过二倍角公式求出

PM

与

PN

的夹角的余弦．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx
=sin(πx+

π

6

)（2分）
∵x∈R∴-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令f(x)=sin(πx+

π

6

)=0得πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
∵x∈[-1，1]∴x=-

1

6

或x=

5

6

∴M(-

1

6

，0)，N(

5

6

，0)，（6分）
由sin(πx+

π

6

)=1，且x∈[-1，1]得x=

1

3

∴P(

1

3

，1)，（8分）
∴

PM

=(-

1

2

，-1)，

PN

=(

1

2

，-1)，（10分）
∴cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

3

5

．（12分）
解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=

1

2

T=1，（6分）|PM|=|PN|=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，（8分）
由余弦定理得cos＜

PM

，

PN

＞=

|PM|2+|PN|2-|MN|2

2|PM|•|PN|

（10分）
=

5 4 ×2-1

2× 5 4

=

3

5

．（12分）
解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=

1

2

T=1，（6分）|PM|=|PN|=

12+( 1 2 )2

=

5

2

（8分）
在Rt△PAM中，cos∠MPA=

|PA|

|PM|

=

1

5 2

=

2 5

5

（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos²∠MPA-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的夹角的求法，可以通过向量的数量积解决，也可以通过三角形解决，考查计算能力，常考题型．