Question

【题目】已知圆O：与直线相切．

（1）求圆O的方程；

（2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；

（3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）证明详见解析，该点坐标为．

【解析】

（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出.

（2）根据题意可得圆心到直线的距离，分类讨论，当斜率不存在时，，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.

（3）设直线AB：，直线： ，分别与圆的方程联立，求出点、，进而求出直线BC方程，根据直线方程即可求解.

解：（1）圆O：与直线相切，

圆心到直线的距离等于半径，即，

，

圆O的方程为；

（2）直线l被圆O所截得的弦长为4，

圆心到直线的距离，

斜率不存在时，，满足题意；

斜率存在时，设方程为，

即，

圆心到直线的距离，，

直线l的方程为，

综上所述，直线l的方程为或；

（3）由题意知，设直线AB：，

与圆方程联立，消去y得：，

，，即，

设直线： ，

与圆的方程联立，消去y得：，

，，

，用代替得：，

直线BC方程为，

令，可得，则直线BC定点