Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=3a_n-2（n∈N₊）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a_n+1=3a_n-2（n∈N₊），变形为a_n+1-1=3（a_n-1），即可证明．
（II）由（I）可得log₃（a_n-1）=n．可得b_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．可得

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （I）证明：∵a_n+1=3a_n-2（n∈N₊），
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
∴数列{a_n-1}为等比数列，a₁-1=3．
∴a_n-1=3ⁿ，
∴an=3n+1．
（II）解：由（I）可得log₃（a_n-1）=n．
∴b_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{

1

bn

}的前n项和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．