Question

14．将${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}$（n∈N₊）的展开式中x^-4的系数记为a_n，则$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{4028}{2015}$．

Answer 1

分析 由题意根据二项展开式的通项公式求得a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，再用裂项法求和求得$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]的值．

解答 解：将${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}$（n∈N₊）的展开式中x^-4的系数记为a_n，则a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]=$\frac{4028}{2015}$，
故答案为：$\frac{4028}{2015}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．