Question

4．三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，若SB=SC，AB=AC=1且∠BAC=120°，SA与底面ABC所成角为60°，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 2π
• B． 3π
• C． 4π
• D． 5π

Answer 1

分析 取BC的中点D，连接AD，SD，求出SD，△ABC的外接圆的半径，可得三棱锥S-ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

解答 解：取BC的中点D，连接AD，SD，则
∵SB=SC，
∴SD⊥BC，
∵平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，
∴SD⊥平面ABC，
∵SA与底面ABC所成角为60°，
∴∠SAC=60°．
∵AB=AC=1且∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{1}{2}$，
∴SD=2$\sqrt{3}$
设△ABC的外接圆的半径为r，则2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
设球心到平面ABC的距离为h，则R²=h²+1=$\frac{1}{4}$+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-h）²，
∴三棱锥S-ABC的外接球的半径为R=1，
∴三棱锥S-ABC的外接球的表面积为4π．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥S-ABC的外接球的半径是关键．