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    【题目】 已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为.

    （1）求双曲线的方程.

    （2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求出直线的方程；若不存在，说明理由.

    【答案】（1）（2）不存在,详见解析

    【解析】

    （1）由题意，得到，联立即得解；

    （2）点差法得到直线l的斜率，即直线方程为，代入双曲线的方程联立，验证即可.

    解：（1）由离心率，得.①

    又双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为，则.②

    由①②，解得，则，

    ∴双曲线的方程为.

    （2）假设存在过点的直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点.

    设，则有

    两式作差，得，即.

    又点是线段的中点，则，

    ∴直线的斜率，

    则直线的方程为，即，

    代入双曲线的方程，得，

    ，方程没有实数解.

    ∴过点不存在直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点.

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