【题目】已知点为椭圆的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于两不同点,,若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(Ⅰ)求椭圆标准方程,只要求出参数,由于有,因此要列出关于的两个方程,而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得,再利用已知直线与椭圆只有一个公共点,即判别式为0可求得椭圆方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得点的坐标,从而可得,要求范围只要求得的范围,为此可直线分类,对斜率不存在时,求得,而当直线斜率存在时,可设出直线方程为,同时设,则,由韦达定理可把表示为的函数,注意直线与椭圆相交,判别式>0,确定的范围,从而可得的范围,最后可得的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意,得,则椭圆为:,
由,得 ,
直线与椭圆有且仅有一个交点,
,
椭圆的方程为 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直线与轴交于 ,
,
当直线与轴垂直时, ,
由 ,
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为, ,
由 ,
依题意得,,且 ,
,
,
,
综上所述,的取值范围是 .
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【题目】2019年1月4日,据“央视财经”微信公众号消息,点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式,外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入,现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图:
将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)求的值,并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离;
(2)若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关,规定2千米内为短距离,每份3元,2千米到4千米为中距离,每份5元,超过4千米为远距离,每份9元.
(i)记为外卖员送一份外卖的牧入(单位:元),求的分布列和数学期望;
(ii)若外卖员一天的收入不低于150元,试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米?
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出当时直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,直线与曲线相交于不同的两点,,求的最大值.
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【题目】为预防病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于%,则认为测试没有通过),公司选定个流感样本分成三组,测试结果如下表:
组 | 组 | 组 | |
疫苗有效 | |||
疫苗无效 |
已知在全体样本中随机抽取个,抽到组疫苗有效的概率是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果,问应在组抽取多少个?
(Ⅲ)已知,,求不能通过测试的概率.
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【题目】一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采用分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动.在活动前对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图.
(1)根据这10名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
(2)若成绩大于等于75分为优良,从这10名同学中随机选取2名男生,2名女生,求这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.
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【题目】 已知双曲线的离心率,双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点是否存在直线,使直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点?若直线存在,请求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆的直角坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),射线的极坐标方程为.
(1)求圆和直线的极坐标方程;
(2)已知射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.
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【题目】已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量(单位:百人)的关系有如下规定:当时,拥挤等级为“优”;当时,拥挤等级为“良”;当时,拥挤等级为“拥挤”;当时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
游客数量(单位:百人) | ||||
天数 | 10 | 4 | 1 | |
频率 |
(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.
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