Question

8．某班有30名同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如表所示，若此次竞赛成绩在80分及以上为优秀，低于80分为非优秀．

编号	性别	得分	编号	性别	得分	编号	性别	得分
1	男	93	11	女	65	21	女	88
2	女	95	12	女	88	22	女	82
3	男	87	13	女	71	23	男	75
4	男	82	14	男	83	24	女	62
5	男	80	15	女	79	25	女	78
6	女	92	16	男	65	26	男	83
7	男	73	17	女	85	27	女	99
8	女	74	18	男	77	28	男	69
9	女	76	19	男	98	29	女	73
10	女	72	20	男	81	30	女	75

（1）请你根据上述数据完成下列2×2的列联表，判断是否能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为数学竞赛成绩和性别有关．

	优秀	非优秀	合计
男
女
合计

（2）从这些男生中任取3人，记成绩优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望，下面是临界值表供参考：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）写出2×2列联表，求出K²，与临界值比较，即可得出结论．
（2）由题意知X可能取0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）2×2列联表

	优秀	非优秀	合计
男	8	5	13
女	7	10	17
合计	15	15	30

K²=$\frac{30×（8×10-5×7）}{15×15×13×17}$≈1.222＜6.635，
∴不能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为数学竞赛成绩和性别有关．
（2）X可能取0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{5}{143}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{40}{143}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{70}{143}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{28}{143}$．
因此，X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{143}$	$\frac{40}{143}$	$\frac{70}{143}$	$\frac{28}{143}$

所以 E（X）=0×$\frac{5}{143}$+1×$\frac{40}{143}$+2×$\frac{70}{143}$+3×$\frac{28}{143}$=$\frac{24}{13}$．

点评 本题考查独立性检验，考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．