Question

19．空间中的一条线段PQ，在其俯视图和侧视图中，该线段的投影的长度分别恒为1和2，则线段PQ长的取值范围是[2，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 利用特殊的图象把问题进行转化，利用长方体的边与边的关系求出PQ²≤（a²+b²）+（c²+b²）=5，进一步求出PQ²≥b²+c²=4，最后求出结论．

解答 解：设长方体的边长为：a、b、c，
线段PQ的三视图，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段
则：a²+b²=1，b²+c²=4
PQ²≤（a²+b²）+（c²+b²）=5
PQ²≥b²+c²=4
即：5≥PQ²≥4
$\sqrt{5}$≥PQ≥2
故答案为：[2，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查的知识要点：三视图与立体图象之间的转化，三角形的边与边的关系．及相关的运算问题．属于基础题型．