Question

已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，S₃=6，且满足a₃-a₁，2a₂，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an•an+2

，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由已知条件列关于首项和公差的方程组，求解后得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项代入b_n=

1

an•an+2

，由裂项相消法求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃=6，a₃-a₁，2a₂，a₈成等比数列，得

3a1+3d=6 4(a1+d)2=2d(a1+7d)

，即

a1+d=2 2a12+3a1d-5d2=0

，
解得：

a1= 10 3 d=- 4 3

或

a1=1 d=1

．
∵d＞0，
∴

a1=1 d=1

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+1×（n-1）=n；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．