Question

10．已知函数f（x）=x²lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t＞0，方程f（x）-t=0关于x在（1，+∞）上有唯一解a，使t=f（a）．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）的定义域，再求导f′（x）=2xlnx+x=x（2lnx+1），从而由导数确定函数的单调性；
（2）可判断当0＜x≤1时，f（x）≤0，再由当x≥1时，设t＞0，h（x）=f（x）-t，从而可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，从而再由h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0可证明．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0解得，x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$；
故当x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）时，f′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），单调增区间是（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）；
（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，
当x≥1时，设t＞0，h（x）=f（x）-t，
由（1）知，h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
又h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0；
故存在唯一解a∈（1，+∞），使t=f（a）成立．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用，属于中档题．