Question

15．求证：ln$\root{4}{2n+1}$＜$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{4{i}^{2}-1}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 先证明，当x＞1时，lnx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）成立，令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$，x∈N^*，证明$\frac{1}{4}$[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，再代入累加，即可得出结论．

解答 证明：先证明，当x＞1时，lnx＜$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）成立．
设g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）
∴g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2x-1}{2{x}^{2}}$≤0．
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=0，即不等式成立
不妨令x=$\frac{2k+1}{2k-1}$，x∈N^*，
∴ln$\frac{2k+1}{2k-1}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{2k+1}{2k-1}$-$\frac{2k-1}{2k+1}$）=$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，
∴$\frac{1}{4}$[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜$\frac{4k}{4{k}^{2}-1}$，
∴$\frac{1}{4}$（ln3-ln1）＜$\frac{1}{4×{1}^{2}-1}$
$\frac{1}{4}$（ln5-ln3）＜$\frac{2}{4×{2}^{2}-1}$，
…
$\frac{1}{4}$[ln（2n+1）-ln（2n-1）＜$\frac{n}{4{n}^{2}-1}$
累加可得$\frac{1}{4}$ln（2n+1）＜$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{4{i}^{2}-1}$
即ln$\root{4}{2n+1}$＜$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{4{i}^{2}-1}$（n∈N^*）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．