Question

4．设数列{b_n}，{c_n}，已知b₁=3，c₁=5，b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+4}{2}$（n∈N^*）
（Ⅰ）设a_n=c_n-b_n，求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求证：对任意n∈N^*，b_n+c_n为定值
（Ⅲ）设S_n为数列{c_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），可得c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}（{c}_{n}-{b}_{n}）$，可得${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），相加可得b_n+1+c_n+1=$\frac{1}{2}（{b}_{n}+{c}_{n}）+4$，由于b₁+c₁=8，即可证明；
（III）由（II）可得：b_n=8-c_n，得到${c}_{n+1}=\frac{12-{c}_{n}}{2}$，变形为${c}_{n+1}-4=-\frac{1}{2}（{c}_{n}-4）$，利用等比数列的通项公式可得：${c}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，可得S_n=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，由于对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，可得$1≤p•\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]≤3$，对n分类讨论即可得出．

解答 （I）解：∵b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），∴c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}（{c}_{n}-{b}_{n}）$，
∴${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，a₁=c₁-b₁=5-3=2，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为-$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）证明：∵b_n+1=$\frac{{c}_{n}+4}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），
∴b_n+1+c_n+1=$\frac{1}{2}（{b}_{n}+{c}_{n}）+4$，
∵b₁+c₁=8，
∴b₂+c₂=$\frac{1}{2}×8+4$=8，
依此类推可得：b_n+c_n=8为定值．
（III）解：由（II）可得：b_n=8-c_n，
∴${c}_{n+1}=\frac{12-{c}_{n}}{2}$，
变形为${c}_{n+1}-4=-\frac{1}{2}（{c}_{n}-4）$，
∴数列{c_n-4}为等比数列，首项为1，公比为$-\frac{1}{2}$，
∴c_n-4=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${c}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，
∴$1≤p•\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]≤3$，
∴$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$≤p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{\frac{2}{3}（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}≤$p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}$，∴$\frac{3}{2}＜p≤3$．
当n为偶数时，$\frac{1}{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$≤p≤$\frac{3}{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$，∴3≤p$＜\frac{9}{2}$．
∴p=3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．