Question

13．化简求值：sin⁶1°+sin⁶2°+sin⁶3°+…+sin⁶89°+sin⁶90°．

Answer 1

分析 由cos⁶α+sin⁶α=1-3cos²αsin²α，原式由诱导公式可化为：t=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1），根据诱导公式和sin²α+cos²α=1即可求得2t的值，即可得解．

解答 解：∵cos⁶α+sin⁶α=（cos²α+sin²α）³-（3cos⁴αsin²α+3cos²αsin⁴α）=1-3cos²αsin²α
∴sin⁶1°+sin⁶2°+sin⁶3°+…+sin⁶89°+sin⁶90°
=（cos⁶1°+sin⁶1°）+（cos⁶2°+sin⁶2°）+…+（cos⁶44°+sin⁶44°）+（sin⁶45°+sin⁶90°）
=（1-3cos²1°sin²1°）+（1-3cos²2°sin²2°）+…+（1-3cos²44°sin²44°）+（sin⁶45°+sin⁶90°）
=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1）
令t=44-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°）+（$\frac{1}{8}$+1）
2t=88-$\frac{3}{4}$（sin²2°+sin²4°+…+sin²88°+sin²88°+sin²86°+…+sin²2°）+2×$\frac{9}{8}$，
∴t=44-$\frac{3}{4}×22$+$\frac{9}{8}$=$\frac{229}{8}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于难题．