Question

18．已知函数f（x）=2Asin（ωx+φ）cos（ωx+φ）+2Asin²（ωx+φ）-A（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若A是锐角三角形的最大内角，求f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）先利用倍角公式对函数解析式化简整理求得f（x）=$\sqrt{2}$Asin（2ωx+2φ-$\frac{π}{4}$），由函数图象观察可知A，由周期公式得ω，由（$\frac{π}{3}$，2）在函数图象上，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ，从而可求f（x）的解析式．
（2）根据A的范围确定2x-$\frac{π}{6}$的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值，答案可得．

解答 解：（1）f（x）=2Asin（ωx+φ）cos（ωx+φ）+2Asin²（ωx+φ）-A
=Asin（2ωx+2φ）-Acos（2ωx+2φ）
=$\sqrt{2}$Asin[（2ωx+2φ）-$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}$Asin（2ωx+2φ-$\frac{π}{4}$）；
由函数图象观察可知，$\sqrt{2}$A=2，可解得：A=$\sqrt{2}$，T=$\frac{2π}{2ω}$=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），可解得：ω=1．
由（$\frac{π}{3}$，2）在函数图象上，可得：2=$\sqrt{2}$Asin（2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$），可得：2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，故可解得：φ=$\frac{π}{24}$．
故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由已知有A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{2}$≤2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴1＜2sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤2．
即f（A）的取值范围是（1，2]．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力，属于基本知识的考查．