Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，四边形BCC₁B₁是边长为6的正方形，直线AB与平面ACC₁A₁所成的角的正切值为3，点D为棱AA₁上的动点，且AD＞DA₁．
（1）当AD为何值时，CD⊥平面B₁C₁D？
（2）当AD=2$\sqrt{3}$时，求二面角B₁-DC-C₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）取C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直线坐标系．利用正方形的性质与已知可得：AA₁⊥平面ABC，于是BC⊥平面ACC₁A₁．得到∠BAC就是直线AB与平面平面ACC₁A₁所成的角，可得AC=2，利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{0=0}\\{-4+x（6-x）=0}\end{array}\right.$，解出即可．
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，设平面B₁CD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，又平面C₁DC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）取C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直线坐标系．
∵四边形BCC₁B₁是边长为6的正方形，∴BC=CC₁=AA₁=6．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
又易知AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∴∠BAC就是直线AB与平面平面ACC₁A₁所成的角，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{AC}$=3，
∴AC=2，
设AD=x，则点C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，6，6），C₁（0，0，6），D（2，0，x）．
∴$\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=（0，6，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-2，0，6-x），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，x）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{0=0}\\{-4+x（6-x）=0}\end{array}\right.$，
解得x=3±$\sqrt{5}$，由于AD＞DA₁．
故当AD=3+$\sqrt{5}$时，CD⊥平面B₁C₁D．
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，则点D（2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，6，6），
设平面B₁CD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}6y+6z=0\\ 2x+2\sqrt{3}z=0.\end{array}$
令z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），又平面C₁DC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）．
设二面角B₁-DC-C₁的大小为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=2．
即二面角B1-DC-C1的正切值为2．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角、正方形的性质、直棱柱的性质，考查了通过建立空间直角坐标系得出平面的法向量、利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．