Question

16．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且a₂=$\frac{1}{9}$，S₂=$\frac{4}{9}$．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+n，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设出等比数列{a_n}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把a_n代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+n，整理后分组，然后利用等差数列和等比数列的求和公式得答案．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
由a₂=$\frac{1}{9}$，S₂=$\frac{4}{9}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=\frac{1}{9}}\\{{a}_{1}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=（\frac{1}{3}）^{n}$；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+n=$\frac{1}{\frac{1}{{3}^{n}}}+n={3}^{n}+n$，
则${T}_{n}={3}^{1}+1+{3}^{2}+2+…+{3}^{n}+n$
=（1+2+…+n）+（3¹+3²+…+3ⁿ）
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}=\frac{{n}^{2}+n}{2}+\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查了数列的分组求和，是中档题．