Question

5．已知方程e^x-$\frac{x}{a}$=0（a∈R）有两个不相等的根，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方程e^x-$\frac{x}{a}$=0可化为a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，再令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，求导f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$确定函数的单调性，从而由零点的判定定理确定a的取值范围．

解答 解：方程e^x-$\frac{x}{a}$=0可化为a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
故f（x）在（-∞，1）上是增函数，
在（1，+∞）上是减函数；
且$\underset{lim}{x→-∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，
又∵f（1）=$\frac{1}{e}$；
故若方程e^x-$\frac{x}{a}$=0（a∈R）有两个不相等的根，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．