Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数f（x）进行化简即可求f（x）的单调减区间；
（2）根据三角函数的图象和性质即可求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
故k=0时，x=-$\frac{π}{12}$，此时（-$\frac{π}{12}$，0）为f（x）图象上与原点最近的对称中心．

点评 本题主要考查三角函数单调性的求解以及对称中心的应用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．