Question

6．已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N₊），且a₁=2．
（1）试求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）^{2}}$，求数列{b_n}的最小项．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数，利用赋值法得到数列的函数关系，即可求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，根据条件判断数列的单调关系即可得到结论．

解答 解：（1）因为a₁=f（2）=2，
令x=2^n-1，y=2，
则有f（2ⁿ）=2^n-1f（2）+2f（2^n-1）
=2ⁿ+2[2^n-2f（2）+2f（2^n-2）]
=2•2ⁿ+2²f（2^n-2）=2•2ⁿ+2²[2^n-3f（2）+2f（2^n-3）]
=3•2ⁿ+2³f（2^n-3）=…
=（n-2）•2ⁿ+2^n-2[2^n-（n-1）f（2）+2f（2^n-（n-1））]
=n•2ⁿ，
即a_n=n•2ⁿ．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）^{2}}$，
令$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2•[$\frac{n+1}{n+2}$]²＞1得n²＞2，n＞$\sqrt{2}$，
即当n≥2，n∈N，
都有b₂＜b₃＜…＜b_n，
而b₁=$\frac{1}{2}$＞b₂=$\frac{4}{9}$，
故（b_n）_min=b₂=$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查数列和函数的应用，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．