Question

20．已知S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n＞1，n∈N^*）求证：S${\;}_{{2}^{n}}$＞1+$\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法证明数列不等式．

解答 证明：当n=2时，左边=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$，右边=$1+\frac{2}{2}=2$，左边＞右边；
假设当n=k时结论成立，即${S}_{{2}^{k}}＞1+\frac{k}{2}$，
那么，当n=k+1时，${S}_{{2}^{K+1}}$=${S}_{{2}^{K}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}+\frac{1}{{2}^{k}+2}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$
$＞1+\frac{k}{2}+$$\frac{1}{{2}^{k}+1}+\frac{1}{{2}^{k}+2}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$$＞1+\frac{k}{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=$1+\frac{k}{2}+\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}=1+\frac{k+1}{2}$，
∴当n=k+1时，不等式成立，
综上，S${\;}_{{2}^{n}}$＞1+$\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明与自然数有关命题，考查了数列不等式的证法，在利用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，可穿插运用放缩法等其它方法，是中档题．