Question

10．已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m＜0，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，则m的取值范围是（$-\frac{4}{3}$，0）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用函数恒成立，转化为一元二次函数恒成立问题，即可得到结论．

解答 解：函数的导数为f′（x）=3mx²-6（m+1）x+（3m+6），
且当x∈[-1，1]时，f′（x）＞3m，
即mx²-2（m+1）x+2＞0，在x∈[-1，1]上恒成立，
设g（x）=mx²-2（m+1）x+2，（m＜0）
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3m+4＞0}\\{-m＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{4}{3}$＜m＜0，
故m的取值范围是（$-\frac{4}{3}$，0），
故答案为：（$-\frac{4}{3}$，0）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，求函数的导数，根据导数的几何意义，转化为一元二次函数是解决本题的关键．