Question

2．已知函数g（x）=2aln（x+1）+x²-2x
（1）当a≠0时，讨论函数g（x）的单调性：
（2）若函数f（x）的图象上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为（x₀，y₀），使得f（x）在点Q（x₀，f（x₀））处的切线l与直线AB平行或重合，则说函数f（x）是“中值平衡函数”，切线l叫做函数f（x）的“中值平衡切线”．试判断函数g（x）是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g（x）的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性；
（2）先假设函数是“中值平衡函数”，结合定义得到aln$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=$\frac{2a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{1{+x}_{1}+1{+x}_{2}}$，（*），通过讨论a的范围，从而确定结论．

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{2a}{x+1}$+2x-2=$\frac{2{（x}^{2}+a-1）}{x+1}$，
当1-a≤0即a≥1时，g′（x）≥0，函数g（x）在定义域（-1，+∞）上是增函数；
当0＜1-a＜1即0＜a＜1时，由$\left\{\begin{array}{l}{g′（x）＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得到-1＜x＜-$\sqrt{1-a}$或x＞$\sqrt{1-a}$，
∴：当a≥0时，函数g（x）的递增区间是（-1，-$\sqrt{1-a}$）和（$\sqrt{1-a}$，+∞），递减区间是（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）；
当1-a＞1即a＜0时，由$\left\{\begin{array}{l}{g′（x）＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得到：x＞$\sqrt{1-a}$，
∴：当a≥0时，函数g（x）的递增区间是（$\sqrt{1-a}$，+∞），递减区间是（-1，$\sqrt{1-a}$），
（2）若函数g（x）是“中值平衡函数”，则存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），（-1＜x₁＜x₂）使得
g′（x₀）=$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$即$\frac{2a}{1+\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}{+x}_{1}{+x}_{2}-2$=$\frac{2aln\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$+x₁+x₂-1，
即aln$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=$\frac{2a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{1{+x}_{1}+1{+x}_{2}}$，（*），
当a=0时，（*）对任意的-1＜x₁＜x₂都成立，所以函数g（x）是“中值平衡函数”，且函数g（x）的“中值平衡切线”有无数条； 
当a≠0时，设$\frac{1{+x}_{1}}{1{+x}_{2}}$=t，则方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（0，1）上有解，
记函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，则h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（t+1）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$≥0，
所以当0＜t＜1时，h（t）＜h（1）=0，即方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（0，1）上无解，
即函数g（x）不是“中值平衡函数”．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查新定义问题，考查转化思想，是一道难题．