Question

11．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，-$\sqrt{3}$），且圆心C在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）的直线l截圆所得弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．

解答 解：（1）AB的中点坐标（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$），AB的斜率为$\sqrt{3}$．可得AB垂直平分线为$2\sqrt{3}$x+6y=0，与x-y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，
所以圆C的方程为x²+y²=4；
（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴直线l的方程为y-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=k（x-1），即y=kx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-k，
则圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，又圆的半径r=2，截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
则有${（\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）}^{2}+{（\sqrt{3}）}^{2}=4$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．
直线l的方程：x=1或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．