Question

12．如图，点P是正方形ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF⊥平面PCD；
（2）求直线BD与平面EFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件利用做线段的中点，利用三角形的中位线，得到线线垂直，进一步转化成线面垂直，再利用等腰三角形的性质，得到线线垂直，最后得到线面垂直．
（2）首先建立空间直角坐标系，利用线段的长求出空间点的坐标，进一步利用法向量知识最后求出线面的夹角的正弦值．

解答 证明：（1）点P是正方形ABCD外一点，E，F分别是AB，PC的中点．
取CD的中点G，连接FG，EG，
所以：FG∥PD，
PA⊥平面ABCD，
所以：PA⊥CD，
由于四边形ABCD为正方形，
所以：CD⊥AD
则：CD⊥平面PAD，
所以：CD⊥PD，
在平面PCD中，FG∥PD，
所以：FG⊥CD．
由于E、G是AB和CD的中点，
所以：EG⊥CD，
则：CD⊥平面EFG，
所以EF⊥CD．
连接PE和CE，PA=AB=2，
利用勾股定理得到：EP=EC=$\sqrt{5}$
F是PC的中点，
则：△EPC为等腰三角形．
所以：EF⊥PC．
由于：EF⊥CD，
所以：EF⊥平面PCD．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，则根基题中已知条件：
则：B（2，0，0），D（0，2，0），E（1，0，0），F（1，1，1），C（2，2，0），
所以：$\overrightarrow{EF}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{CF}=（-1，-1，1）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，
设平面CEF的法向量为：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
所以：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\-x-y+z=0\end{array}\right.$
解得：$\overrightarrow{n}=（2，-1，1）$
设直线BD与平面EFC所成角为θ，
则sinθ=$cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理的应用，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，向量的角角公式的应用，及相关的运算问题．