Question

4．设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x²．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x-4，求a，b的值．
（2）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在实数k和m，使得不等式f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件列出方程组，求出a、b的值；
（2）由求导公式求出函数f′（x）、g′（x），由条件列出方程组求出a、b的值，判断出（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，并求出在该点处的公切线方程，将条件转化为：f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同时成立，根据二次函数的图象和性质，以及构造函数法、导数法进行证明．

解答 解：（1）由题意得f（x）=alnx+bx，则$f′（x）=\frac{a}{x}+b$，
因为f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x-4，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-1}\\{f′（1）=3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（3分）
（2）由题意得，$f′（x）=\frac{a}{x}+b$，g′（x）=2x，
因为f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$…（5分）
由f（1）=g（1）=1得，所以（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，
则函数f（x）、g（x）在（1，1）处的切线：y=2x-1．
若存在实常数k和m，使得f（x）≤kx+m和g（x）≥kx+m成立，
即g（x）≥2x-1和f（x）≤2x-1同时成立，
∵g（x）-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴g（x）≥2x-1，
则g（x）≥2x-1都在定义域内恒成立．…（8分）
令h（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，则h′（x）=$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，由h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x） 在（0，1）递增，（1，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（1）=0，
则h（x）≤0，即f（x）≤2x-1成立．…（12分）
综上可得，存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m恒成立．…（13分）

点评 本题考查求导公式，导数的几何意义，以及导数与函数的单调性、最值问题，考查构造法、方程思想，以及转化思想．