Question

15．已知a是大于0的实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+$\frac{m}{x-1}$是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值；
（Ⅱ）由f′（x）=0求出临界点，根据已知的区间和临界点进行分类讨论，由导数的符号判断出函数f（x）的单调性，再分别求出函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）由题意和求导公式求出g′（x），利用导数与函数单调性的关系，将条件转化为：g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，设t=（x-1）²代入g′（x）化简后，分离出参数m后，利用二次函数的性质求出实数m的范围以及m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=x²（x-a）+x=x³-ax²，
所以f′（x）=3x²-2ax，…（1分）
因为在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，
所以f′（2）=3×4-2a×2=0，解得a=3；    …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，解得x₁=0，${x}_{2}=\frac{2a}{3}$，…（5分）
①当$\frac{2a}{3}≥2$时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，则f_min=f（2）=8-4a …（6分）
②当$0＜\frac{2a}{3}＜2$，即0＜a＜3时，
f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$]上单调递减，在[$\frac{2a}{3}$，2]上单调递增，从而f_min=f（$\frac{2a}{3}$）=$-\frac{4}{27}{a}^{3}$ …（7分）
综上所述，当0＜a＜3时，f_min=f（$\frac{2a}{3}$）=$-\frac{4}{27}{a}^{3}$，
当a≥3时，f_min=f（2）=8-4a；              …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得a=3，所以g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，
则$g′（x）=3{x}^{2}-6x-\frac{m}{（x-1）^{2}}$…（9分）
∵g（x）是[3，+∞）上的增函数，
∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，
即$3{x}^{2}-6x-\frac{m}{{（x-1）}^{2}}≥0$在[3，+∞）上恒成立． …（10分）
设t=（x-1）²，t∈[4，+∞），
∴$3t-3-\frac{m}{t}≥0$在[4，+∞）上恒成立．
∴$m≤3{t}^{2}-3t=3（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{4}$在[4，+∞）上恒成立   …（12分）
令$h（t）=3{（t-\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{3}{4}$，t∈[4，+∞），
∴h（t）_min=h（4）=36，则m≤36，
∴实数m的最大值是36． …（14分）

点评 本题考查求导公式和求导法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、最值的关系，考查分离参数法，分类讨论思想和化简计算能力，属于中档题．