Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，S为四边形；
②当CQ=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
③当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ=$\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=$\frac{1}{3}$；
⑤当CQ=1时，S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．

解答 解：如图当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；
当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正确；
由上可知当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，故其面积为$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故正确．
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．