Question

16．如图所示，ABCD是矩形，平面ABCD与半圆O所在的平面垂直，E是半圆周上异于A，B的任意一点．
（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；
（2）若AD=$\frac{1}{2}$CD=1，当点E使得△ABE的面积最大时，求二面角E-BD-A的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）可先证DA⊥BE，又BE⊥AE，可证BE⊥平面ADE，由BE?平面BDE，即可证明平面ADE⊥平面BDE；
（2）先证明使得△ABE的面积最大时，BE=AE，且BE⊥AE，然后以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDA和平面DEB的法向量，利用向量法求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答 证明：（1）∵ABCD是矩形，平面ABCD与半圆O所在的平面垂直，
∴DA⊥BE
∵E是半圆周上异于A，B的任意一点．
∴BE⊥AE
又∵DA∩AE=A
∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面BDE
∴平面ADE⊥平面BDE；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AE•EB•sin∠BEA≤$\frac{B{E}^{2}+A{E}^{2}}{4}$•sin∠BEA=$\frac{A{B}^{2}}{4}$•sin∠BEA（当且仅当BE=AE时，等号成立）
∴使得△ABE的面积最大时，BE=AE，且BE⊥AE，
由O点作AD平行线交CD于M点，以OE，OB，OM分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz，
则由AD=$\frac{1}{2}$CD=1，可得：A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，1），D（0，-1，1），E（1，0，0），
$\overrightarrow{ED}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，1），
平面BDA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由：$\overrightarrow{ED}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得：-x-y+z=0；由$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得-x+y+z=0，从而解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x=z}\end{array}\right.$，故可得：$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
从而设二面角E-BD-A为θ，可得：cosθ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{（0，0，1）•（1，0，1）}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故二面角E-BD-A的余弦值的大小为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的证明问题，也考查了空间向量的应用问题，解题的关键是建立空间直角坐标系并写出对应点的坐标，考查了二面角的求法和转化思想，属于中档题．