Question

11．对于函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$，给出下列结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）
③函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点；
④若x₁≠x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
⑤若x₁＜x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$$＜f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$
其中所有正确结论的序号为①②④．

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$，f（-x）=$\frac{-x}{1+|x|}$；从而可得f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，从而可求得-1＜f（x）＜1；g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{x}^{2}}{1+x}，x≥0}\\{\frac{{x}^{2}}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，从而可知函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点；化简f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，从而可判断f（x）在R上是增函数，故若x₁≠x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；作函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$的图象，由图象判断即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$，f（-x）=$\frac{-x}{1+|x|}$；
故等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立，故①成立；
f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故-1＜f（x）＜1，
故函数f（x）的值域为（-1，1），故②成立；
g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{x}^{2}}{1+x}，x≥0}\\{\frac{{x}^{2}}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点，故③不成立；
∵f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故可判断f（x）在R上是增函数，
故若x₁≠x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
故④成立；
作函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{1+x}，x≥0}\\{-1+\frac{1}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$的图象如下，

若0＜x₁＜x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$$＜f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$，
若x₁＜x₂＜0，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．
故⑤不成立．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想的应用，属于中档题．