Question

18．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，则a=4，若数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，那么S₂₀₁₃=$\frac{2013}{4027}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求值．

解答 解：函数f（x）=ax²-1的导数为f′（x）=2ax，
即有在点A（1，f（1））处的切线斜率为k=2a，
由切线l与直线8x-y+2=0平行，
则2a=8，解得a=4，
f（x）=4x²-1，
即有$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则S₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4025}$-$\frac{1}{4027}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4027}$）=$\frac{2013}{4027}$．
故答案为：4，$\frac{2013}{4027}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，运用两直线平行的条件和作差求和是解题的关键．