Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}m{x^3}-（m+1）{x^2}$+（m+2）x，其中m＜0．
（1）求f′（1）的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-1，1]，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令x=1即可得到所求值；
（2）求出导数，并因式分解，列表表示：当x变化时，f（x）与f'（x）的变化，即可得到单调增区间；
（3）由已知得f'（x）＞m，即mx²-2（m+1）x+2＞0又m＜0，运用二次不等式恒成立思想转化为二次函数问题，由二次函数的图象和性质，考虑端点的函数值的符号，解不等式即可求得m的范围．

解答 解：f（x）的导数为f'（x）=mx²-2（m+1）x+m+2，
（1）f'（1）=m-2（m+1）+m+2=0；
（2）由（1）知，$f'（x）=m{x^2}-2（m+1）x+m+2=m（x-1）[x-（1+\frac{2}{m}）]$，
当m＜0时，有$1＞1+\frac{2}{m}$，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	（-∞，1+$\frac{2}{m}$）	1+$\frac{2}{m}$	（1+$\frac{2}{m}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+$\frac{2}{m}$）单调递减，在（1+$\frac{2}{m}$，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）的单调递增区间为（1+$\frac{2}{m}$，1）；
（3）由已知得f'（x）＞m，即mx²-2（m+1）x+2＞0又m＜0，
所以${x^2}-\frac{2}{m}（m+1）x+\frac{2}{m}＜0$，即${x^2}-\frac{2}{m}（m+1）x+\frac{2}{m}＜0，x∈[-1，1]$，①
设$g（x）={x^2}-2（1+\frac{1}{m}）x+\frac{2}{m}$，
其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＜0\\ g（1）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+2+\frac{2}{m}+\frac{2}{m}＜0\\-1＜0\end{array}\right.$，
解之得$-\frac{4}{3}＜m又m＜0$，
所以$-\frac{4}{3}＜m＜0$，
即m的取值范围为（-$\frac{4}{3}$，0）..

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查二次不等式恒成立问题的解法，属于中档题．