Question

5．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x₀，y₀）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．
①直线l：x=-1在点P（-1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）²；
②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x³；
③直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；
⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．

Answer 1

分析 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．

解答 解：对于①，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），则y′|_x=-1=0，
而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，故①错误；
对于②，由y=x³，得y′=3x²，则y′|_x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故②正确；
对于③，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，则y′|_x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，
g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故③错误；
对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|_x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
故④正确；
对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec²x，则y′|_x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解，属于中档题和易错题．