Question

20．7名班委中有A，B，C三人，有7中不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
（1）若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（2）若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

Answer 1

分析 显然这是一道排列应用题，问题（1）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排其余5名班委职务．
问题（2）的反面情形比较简单，可采用排除法求解．

解答 解：（1）先安排正、副班长有${A}_{3}^{2}$种方法，再安排其余职务有${A}_{5}^{5}$种方法，依分步乘法计数原理，共有${A}_{3}^{2}$${A}_{5}^{5}$=720种分工方案．
（2）7人的任意分工方案有${A}_{7}^{7}$种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{5}$种，因此A、B、C三人中至少有1人任正、副班长的方案有${A}_{7}^{7}$-${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{5}$=3600种．

点评 排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置，并非一定要排成“一行”．“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用，在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效．