Question

8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c成等差数列，且$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，若三角形的内切圆半径为2，则三角形的面积为24．

Answer 1

分析 利用a、b、c成等差数列，可得2b=a+c，利用$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，可得C=90°，结合三角形的内切圆半径为2，求出a，b，c，即可求出三角形的面积．

解答 解：∵a、b、c成等差数列，
∴2b=a+c，①
∴2sinB-sinA=sinC，
∵$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{2sinB-sinA}{sinA+sinB}$，
∴$\frac{1}{cosA+cosB}$=$\frac{sinC}{sinA+sinB}$，
∴2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=sinC•2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$，
∴sin$\frac{A+B}{2}$=2sin$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A+B}{2}$，
∴A+B=90°，
∴C=90°
∵三角形的内切圆半径为2，
∴a-2+b-2=c，
∴c=a+b-4②，
∵a²+b²=c²，③
∴由①②③可得a=6，b=8，c=10，
∴三角形的面积为$\frac{a+b+c}{2}•r$=24，
故答案为：24．

点评 本题考查等差数列的性质，考查三角函数知识，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．