Question

12．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则下列函数不是M函数的是（　　）

• A． f（x）=x²
• B． f（x）=2^x-1
• C． f（x）=ln（x²+1）
• D． f（x）=x²+1

Answer 1

分析 根据M函数的定义，由函数的单调性、函数的值域，或作差比较两个函数值的大小的方法判断每个选项的函数是否满足条件①②，即可判断该函数是否为M函数．

解答 解：A．f（x）=x²，该函数显然满足①，f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$≥f（x₁）+f（x₂），即满足②；
∴该函数是M函数；
B．f（x）=2^x-1，x∈[0，1]时，显然f（x）≥0，即满足①；
x₁≥0，x₂≥0，f（x₁+x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）$≥0；
∴该函数为M函数；
C．f（x）=ln（x²+1），显然满足①；
$f（{x}_{1}+{x}_{2}）=ln（{2x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+1）$，f（x₁）+f（x₂）=$ln[（{x}_{1}{x}_{2}）•{（x}_{1}{x}_{2}）+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+1]$；
x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1；
∴2x₁x₂≥（x₁x₂）•（x₁x₂）；
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），即满足②；
∴该函数是M函数；
D．f（x）=x²+1，当x₁=0，x₂=1时，f（x₁+x₂）=2，f（x₁）+f（x₂）=3；
∴不满足②；
∴该函数不是M函数．
故选：D．

点评 考查对M函数定义的理解，对数函数、指数函数的单调性，根据函数的单调性求函数的范围，作差法比较两个函数值的大小，根据函数的单调性比较f（x₁+x₂）与f（x₁）+f（x₂）的大小关系．