Question

13．设a＞0，函数f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}$．
（1）若a=$\frac{5}{9}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得极值，证明：对于任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3-e}{3}\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）由条件可得，$f'（\frac{1}{2}）$=0，求得a，进而得到单调区间和极值，也为最值，即有任意两个函数值的绝对值不大于最大值与最小值之差．

解答 （1）解：当a=$\frac{5}{9}$，f'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+a-2x）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}[（x-1）^{2}-\frac{4}{9}]}{（{x}^{2}+\frac{5}{9}）^{2}}$．
令f'（x）＞0，即（x-1）²-$\frac{4}{9}$＞0，解得x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{5}{3}$．
令f'（x）＜0，解得$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{5}{3}$．
因此，因此，函数f（x）的增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$），（$\frac{5}{3}$，+∞），
函数f（x）的减区间为（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
（2）证明：当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得极值，即$f'（\frac{1}{2}）$=0，
∴（$\frac{1}{2}$）²+a-2×$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{3}{4}$．
同理由（1）易知，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递增，
在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）上单调递减．
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$时取得极大值f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$．在x=$\frac{3}{2}$时取得极小值f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{3}$，
∴在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上，f（x）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，最小值是f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{3}$．
∴对于任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\sqrt{e}$-$\frac{e}{3}$$\sqrt{e}$，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3-e}{3}$$\sqrt{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．