Question

5．已知函数$f（x）=x+\frac{1}{e^x}-1$．
（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）过点B（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值；
（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），求出导数，求得切线的方程，代入点（0，t），得到t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1．求出右边函数的导数，求得单调区间和极值，也为最值，即可判断切线是否存在．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R．
因为函数$f（x）=x+\frac{1}{e^x}-1$，所以f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$．
令f′（x）=0，则x=0．

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）极小值为f（0）=0-1+$\frac{1}{{e}^{0}}$=0；                      
（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），
则切线方程为y-n=f′（m）（x-m），
即y-（m-1+$\frac{1}{{e}^{m}}$）=（1-e^-m）（x-m），
将B（0，t）代入得t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1．
方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1有解，等价于过点B（0，t）作曲线f（x）的切线存在．
令M（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1，所以M′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$．
当M′（x）=0，x=0，
所以 当x＜0时，以M′（x）＞0，函数以M（x）在（-∞，0）上单调递增；
当x＞0时，M′（x）＜0，M（x）在（0，+∞）上单调递减．
所以当x=0时，M（x）_max=M（0）=0，无最小值．
当t≤0时，方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1有解；
当t＞0时，方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1无解．
综上所述，当t≤0时存在切线；当t＞0时不存在切线．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，运用函数和方程转化思想是解题的关键．