Question

10．设函数f（x）=x³-3ax²+3（2-a）x，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象与x轴相切于原点，当0＜x₂＜x₁，f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＜8．

Answer 1

分析 （1）先求导f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），再确定△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；从而以△讨论单调区间即可；
（2）令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0可求得a=2；从而化简f（x）=x³-6x²，从而可知f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；单调减区间为（0，4）；再由f（x₁）=f（x₂），且0＜x₂＜x₁，得到不等式组，从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），
△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；
①当a＜-2或a＞1时，
由f′（x）=3x²-6ax+3（2-a）=0解得，
x=a±$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$；
f（x）的单调递增区间为（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$），（a+$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，+∞）；
②当-2≤a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
（2）证明：令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0得a=2；
故f（x）=x³-6x²，
由（1）知，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；
单调减区间为（0，4）；
∵f（x₁）=f（x₂），且0＜x₂＜x₁，
∴0＜x₂＜4，x₁＞4，
∴8-x₂＞4，
而f（x₂）-f（8-x₂）
=${{x}_{2}}^{3}$-6${{x}_{2}}^{2}$-[${（8{-x}_{2}）}^{3}$-6${（8{-x}_{2}）}^{2}$]
=2（x₂-4）${{（x}_{2}-4）}^{2}$＜0，
∴f（x₁）=f（x₂）＜f（8-x₂），
∵函数f（x）在（4，+∞）递增，
∴x₁＜8-x₂，
∴x₁+x₂＜8．

点评 本题考查了导数的综合应用，二次方程的根及单调性的判断与应用，属于中档题